和の交換法則の証明

前置き：
ニワカなのでいろいろ未熟

自然数の公理：
（参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86）
・自然数の中には0が存在する
・すべての自然数xについてs(x)が存在する。（xの"次の数"）
・s(x)=0となるxは存在しない
・s(a)≠s(b)ならばa≠b
・0がある性質を満たし、「kが性質をみたすときs(k)も性質を満たす」とき、すべての自然数について条件を満たす。（数学的帰納法）

和を定義する：
・x+0=x ...(1)
・x+s(k)=s(x+k) ...(2)

証明『すべての自然数x,yについてx+y=y+x』
(a)
0+0=0[∵(1)]
(b)
あるxについて0+x=xとする ...(3)
0+s(x)=s(0+x) [∵(2)]
=s(x) [∵(3)]
(c)
すべてのxについて0+x=x [∵(a)(b)] ...(4)

(d)
s(x+0)=s(x) [∵(1)]
=s(x)+0 [∵(1)]
(e)
あるkについて、すべてのxにおいて、s(x+k)=s(x)+kとする ...(5)
s(x+s(k))=s(s(x+k)) [∵(2)]
=s(s(x)+k) [∵(5)]
=s(x)+s(k) [∵(2)]
(f)
すべてのx,yについてs(x+y)=s(x)+y [∵(d)(e)] ...(6)

(g)
x+0=x [∵(1)]
=0+x [∵(4)]
(h)
あるkについて、すべてのxにおいて、x+k=k+xとする。 ...(7)
x+s(k)=s(x+k) [∵(2)]
=s(k+x) [∵(7)]
=s(k)+x [∵(6)]
(i)
すべてのx,yについてx+y=y+x [∵(g)(h)]